Equações de Maxwell

Formulação diferencial e integral das leis fundamentais do eletromagnetismo.

1. As equações de Maxwell como linguagem do cálculo vetorial

As equações de Maxwell constituem um sistema de equações diferenciais parciais que descreve a estrutura do campo eletromagnético. Entretanto, para compreendê-las rigorosamente, não basta memorizar quatro expressões: é necessário distinguir sua sintaxe matemática de sua semântica física.

A sintaxe informa:

quais objetos matemáticos aparecem;
quais operadores atuam sobre esses objetos;
qual é o domínio de integração;
quais orientações geométricas são adotadas;
quais grandezas são escalares e quais são vetoriais.

A semântica informa:

o que os campos representam fisicamente;
o que significa uma divergência positiva ou negativa;
o que significa a existência de um rotacional;
como cargas e correntes produzem campos;
como campos elétricos e magnéticos se acoplam dinamicamente.

Em termos abstratos, considere-se uma região espacial $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{3}$ e o tempo $t\in\mathbb{R}$ . Os campos eletromagnéticos são aplicações vetoriais da forma

\vec{E}:\Omega\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}, \qquad (\vec{r},t)\longmapsto \vec{E}(\vec{r},t), \qquad \text{(Eq. 1)}

\vec{B}:\Omega\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}, \qquad (\vec{r},t)\longmapsto \vec{B}(\vec{r},t). \qquad \text{(Eq. 2)}

A posição é representada pelo vetor

\vec{r}=x\hat{\vec{x}}+y\hat{\vec{y}}+z\hat{\vec{z}}, \qquad \text{(Eq. 3)}

em que $\hat{\vec{x}}$ , $\hat{\vec{y}}$ e $\hat{\vec{z}}$ são vetores unitários associados aos eixos cartesianos.

2. Objetos fundamentais da teoria eletromagnética

2.1. Campos vetoriais

Os quatro campos vetoriais fundamentais são:

\vec{E}(\vec{r},t) \quad \text{campo elétrico, em } \mathrm{V/m},

\vec{D}(\vec{r},t) \quad \text{densidade de fluxo elétrico, em } \mathrm{C/m^2},

\vec{B}(\vec{r},t) \quad \text{densidade de fluxo magnético, em } \mathrm{T},

\vec{H}(\vec{r},t) \quad \text{campo magnético, em } \mathrm{A/m}.

Em coordenadas cartesianas, um campo vetorial possui a forma

\vec{E} = E_x\hat{\vec{x}} + E_y\hat{\vec{y}} + E_z\hat{\vec{z}}, \qquad \text{(Eq. 4)}

em que $E_x$ , $E_y$ e $E_z$ são campos escalares.

A sintaxe da Eq. 4 afirma que $\vec{E}$ é composto por três componentes escalares. Sua semântica afirma que, em cada ponto do espaço e em cada instante, existe uma direção e uma intensidade associadas à força elétrica por unidade de carga.

2.2. Fontes escalares e vetoriais

A densidade volumétrica de carga é um campo escalar:

\rho:\Omega\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}, \qquad \rho=\rho(\vec{r},t), \qquad \text{(Eq. 5)}

medido em $\mathrm{C/m^{3}}$ .

A densidade de corrente é um campo vetorial:

\vec{J}:\Omega\times\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^{3}, \qquad \vec{J}=\vec{J}(\vec{r},t), \qquad \text{(Eq. 6)}

medido em $\mathrm{A/m^{2}}$ .

Fisicamente:

$\rho$ descreve quanto de carga existe por unidade de volume;
$\vec{J}$ descreve a quantidade e a direção do transporte de carga.

Em um meio condutor ôhmico isotrópico,

\vec{J}=\sigma\vec{E}, \qquad \text{(Eq. 7)}

em que $\sigma$ é a condutividade elétrica do material.

3. O operador vetorial $\vec{\nabla}$

3.1. Definição

O operador diferencial vetorial nabla é definido, em coordenadas cartesianas, por

\vec{\nabla} = \hat{\vec{x}}\frac{\partial}{\partial x} + \hat{\vec{y}}\frac{\partial}{\partial y} + \hat{\vec{z}}\frac{\partial}{\partial z}. \qquad \text{(Eq. 8)}

A sintaxe da Eq. 8 se assemelha à de um vetor. Contudo, $\vec{\nabla}$ não é um vetor físico comum: trata-se de um operador diferencial vetorial.

Seu significado somente se completa quando se especifica sobre qual campo ele atua e qual operação algébrica será utilizada.

3.2. Gradiente

Quando $\vec{\nabla}$ atua sobre um campo escalar $\phi$ , obtém-se o gradiente:

\operatorname{grad}\phi = \vec{\nabla}\phi = \frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{\vec{x}} + \frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{\vec{y}} + \frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{\vec{z}}. \qquad \text{(Eq. 9)}

A sintaxe apresenta uma entrada escalar e uma saída vetorial:

\text{escalar}\xrightarrow{\;\vec{\nabla}\;}\text{vetor}.

A semântica é a seguinte: $\vec{\nabla}\phi$ aponta na direção em que $\phi$ cresce mais rapidamente, e seu módulo representa a taxa máxima de crescimento espacial.

Na eletrostática, o campo elétrico é relacionado ao potencial elétrico $V$ por

\vec{E}=-\vec{\nabla}V. \qquad \text{(Eq. 10)}

O sinal negativo indica que $\vec{E}$ aponta na direção de maior diminuição do potencial.

3.3. Divergência

Para um campo vetorial

\vec{A}=A_x\hat{\vec{x}}+A_y\hat{\vec{y}}+A_z\hat{\vec{z}},

a divergência é definida por

\operatorname{div}\vec{A} = \vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}. \qquad \text{(Eq. 11)}

A sintaxe apresenta um produto escalar entre o operador $\vec{\nabla}$ e o campo $\vec{A}$ :

\text{vetor}\xrightarrow{\;\vec{\nabla}\cdot\;}\text{escalar}.

A divergência mede o fluxo líquido que emerge de uma vizinhança infinitesimal.

Se $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}>0$ , o ponto comporta-se localmente como uma fonte.
Se $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}<0$ , o ponto comporta-se localmente como um sumidouro.
Se $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$ , não existe produção líquida local do campo.

Formalmente,

\vec{\nabla}\cdot\vec{A} = \lim_{\Delta V\to 0} \frac{1}{\Delta V} \oiint_{\partial(\Delta V)} \vec{A}\cdot d\vec{S}. \qquad \text{(Eq. 12)}

Portanto, a divergência é o fluxo líquido por unidade de volume no limite infinitesimal.

3.4. Rotacional

O rotacional de $\vec{A}$ é definido por

\operatorname{rot}\vec{A} = \vec{\nabla}\times\vec{A}. \qquad \text{(Eq. 13)}

Em coordenadas cartesianas,

\vec{\nabla}\times\vec{A} = \begin{vmatrix} \hat{\vec{x}} & \hat{\vec{y}} & \hat{\vec{z}} \\[2mm] \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\[2mm] A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}. \qquad \text{(Eq. 14)}

Desenvolvendo o determinante,

\vec{\nabla}\times\vec{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right)\hat{\vec{x}} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right)\hat{\vec{y}} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right)\hat{\vec{z}}. \qquad \text{(Eq. 15)}

A sintaxe apresenta um produto vetorial:

\text{vetor}\xrightarrow{\;\vec{\nabla}\times\;}\text{vetor}.

A semântica do rotacional é a circulação local do campo. Seu módulo mede a intensidade da tendência de rotação, enquanto sua direção indica o eixo dessa circulação segundo a regra da mão direita.

Formalmente,

\hat{\vec{n}}\cdot \left( \vec{\nabla}\times\vec{A} \right) = \lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S} \oint_{\partial(\Delta S)} \vec{A}\cdot d\vec{\ell}. \qquad \text{(Eq. 16)}

4. Geometria das integrais vetoriais

4.1. Elemento de linha

O elemento vetorial de linha é

d\vec{\ell} = dx\,\hat{\vec{x}} + dy\,\hat{\vec{y}} + dz\,\hat{\vec{z}}. \qquad \text{(Eq. 17)}

A integral

\int_C \vec{A}\cdot d\vec{\ell}

mede a componente tangencial de $\vec{A}$ acumulada ao longo da curva $C$ .

Quando $C$ é uma curva fechada, escreve-se

\oint_C \vec{A}\cdot d\vec{\ell}.

Essa integral recebe o nome de circulação.

4.2. Elemento de superfície

O elemento vetorial de superfície é

d\vec{S}=\hat{\vec{n}}\,dS, \qquad \text{(Eq. 18)}

em que $\hat{\vec{n}}$ é o vetor unitário normal à superfície.

A integral

\iint_S \vec{A}\cdot d\vec{S}

mede o fluxo do campo $\vec{A}$ através da superfície $S$ .

Se a superfície for fechada, utiliza-se

\oiint_S \vec{A}\cdot d\vec{S}.

4.3. Teorema da divergência

O teorema da divergência estabelece que

\iiint_V \left( \vec{\nabla}\cdot\vec{A} \right)dV = \oiint_{\partial V} \vec{A}\cdot d\vec{S}. \qquad \text{(Eq. 19)}

O lado esquerdo descreve a soma de todas as fontes locais no volume. O lado direito descreve o fluxo líquido que atravessa a fronteira do volume.

Assim, o teorema conecta uma descrição local, baseada em derivadas, a uma descrição global, baseada em integrais.

4.4. Teorema de Stokes

O teorema de Stokes estabelece que

\iint_S \left( \vec{\nabla}\times\vec{A} \right)\cdot d\vec{S} = \oint_{\partial S} \vec{A}\cdot d\vec{\ell}. \qquad \text{(Eq. 20)}

O lado esquerdo soma a rotação local do campo sobre a superfície. O lado direito mede a circulação total sobre a borda da superfície.

A orientação de $d\vec{\ell}$ e $d\vec{S}$ deve obedecer à regra da mão direita.

5. Sistema diferencial de Maxwell

Em um meio material, as equações de Maxwell na forma diferencial são

\boxed{ \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho } \qquad \text{(Eq. 21)}

\boxed{ \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 } \qquad \text{(Eq. 22)}

\boxed{ \vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} } \qquad \text{(Eq. 23)}

\boxed{ \vec{\nabla}\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} } \qquad \text{(Eq. 24)}

Essas quatro equações podem ser classificadas em dois grupos.

As Eqs. 21 e 22 são equações de divergência. Elas descrevem fontes e fluxos.

As Eqs. 23 e 24 são equações de rotacional. Elas descrevem circulação e indução.

6. Lei de Gauss para o campo elétrico

6.1. Forma diferencial

\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho. \qquad \text{(Eq. 25)}

6.2. Sintaxe

O lado esquerdo é a divergência de um campo vetorial:

\vec{\nabla}\cdot\vec{D}.

Seu resultado é um escalar. Portanto, é sintaticamente compatível com $\rho$ , que também é um campo escalar.

Em termos dimensionais,

[\vec{\nabla}\cdot\vec{D}] = \frac{\mathrm{C/m^{2}}}{\mathrm{m}} = \mathrm{C/m^{3}} = [\rho].

A compatibilidade dimensional é uma exigência da sintaxe física da equação.

6.3. Semântica

A Eq. 25 afirma que a carga elétrica é uma fonte do campo $\vec{D}$ .

Onde existe densidade de carga positiva, as linhas de $\vec{D}$ tendem a emergir. Onde existe densidade de carga negativa, as linhas tendem a convergir.

Não se deve interpretar a divergência como “o campo está aumentando”. A divergência mede a expansão espacial líquida do campo, não sua simples variação de módulo.

6.4. Forma integral

Integrando a Eq. 25 sobre um volume $V$ ,

\iiint_V \vec{\nabla}\cdot\vec{D}\,dV = \iiint_V\rho\,dV. \qquad \text{(Eq. 26)}

Aplicando-se o teorema da divergência,

\boxed{ \oiint_{\partial V} \vec{D}\cdot d\vec{S} = \iiint_V \rho\,dV = Q_{\mathrm{int}} } \qquad \text{(Eq. 27)}

A semântica global é:

O fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada é igual à carga total contida em seu interior.

A Eq. 25 é local: vale ponto a ponto.

A Eq. 27 é global: relaciona uma região inteira à sua fronteira.

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7. Lei de Gauss para o magnetismo

7.1. Forma diferencial

\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0. \qquad \text{(Eq. 28)}

7.2. Sintaxe

A divergência de $\vec{B}$ é um escalar. O lado direito é o escalar zero.

A equação afirma que, em qualquer ponto regular do espaço, não existe densidade de fonte magnética.

7.3. Semântica

A Eq. 28 expressa a ausência observada de monopólos magnéticos isolados na eletrodinâmica clássica.

As linhas de $\vec{B}$ não começam nem terminam em pontos: formam curvas fechadas ou se estendem sem início ou fim dentro do domínio considerado.

Isso não significa que o campo magnético seja nulo. Significa apenas que ele é solenoidal, isto é, possui divergência nula.

7.4. Forma integral

Integrando-se sobre um volume $V$ ,

\boxed{ \oiint_{\partial V} \vec{B}\cdot d\vec{S}=0 } \qquad \text{(Eq. 29)}

O fluxo magnético que entra em qualquer superfície fechada é exatamente compensado pelo fluxo magnético que sai.

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8. Lei de Faraday

8.1. Forma diferencial

\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}. \qquad \text{(Eq. 30)}

8.2. Sintaxe

O lado esquerdo é o rotacional de $\vec{E}$ , portanto é um vetor.

O lado direito é a derivada temporal do vetor $\vec{B}$ , também resultando em um vetor. A igualdade é, portanto, vetorial:

\begin{aligned} \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)_x &= -\frac{\partial B_x}{\partial t}, \\ \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)_y &= -\frac{\partial B_y}{\partial t}, \\ \left(\vec{\nabla}\times\vec{E}\right)_z &= -\frac{\partial B_z}{\partial t}. \end{aligned}

A Eq. 30 representa, na realidade, três equações escalares acopladas.

8.3. Semântica

Um campo magnético variável no tempo produz um campo elétrico com circulação.

Esse campo elétrico não é necessariamente produzido por cargas estáticas. Trata-se de um campo elétrico induzido, cujas linhas podem formar curvas fechadas.

O sinal negativo codifica a lei de Lenz: o campo induzido tende a se opor à variação do fluxo magnético que o produziu.

8.4. Forma integral

Integrando-se sobre uma superfície fixa $S$ ,

\iint_S \left( \vec{\nabla}\times\vec{E} \right)\cdot d\vec{S} = - \iint_S \frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S}. \qquad \text{(Eq. 31)}

Aplicando-se o teorema de Stokes,

\boxed{ \oint_{\partial S} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = - \frac{d}{dt} \iint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} } \qquad \text{(Eq. 32)}

Definindo-se o fluxo magnético por

\Phi_B = \iint_S \vec{B}\cdot d\vec{S}, \qquad \text{(Eq. 33)}

obtém-se

\mathcal{E} = \oint_{\partial S} \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt}. \qquad \text{(Eq. 34)}

A grandeza $\mathcal{E}$ é a força eletromotriz induzida.

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9. Lei de Ampère-Maxwell

9.1. Forma diferencial

\vec{\nabla}\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}. \qquad \text{(Eq. 35)}

9.2. Sintaxe

O lado esquerdo é o rotacional de $\vec{H}$ , sendo, portanto, vetorial.

No lado direito aparecem duas densidades de corrente:

\vec{J}

é a densidade de corrente de condução, enquanto

\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}

é denominada densidade de corrente de deslocamento.

Ambas possuem unidade $\mathrm{A/m^{2}}$ .

De fato,

\left[ \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \right] = \frac{\mathrm{C/m^{2}}}{\mathrm{s}} = \mathrm{A/m^{2}}.

9.3. Semântica

A Eq. 35 afirma que o campo magnético circulante pode ser produzido por:

transporte efetivo de cargas, representado por $\vec{J}$ ;
variação temporal do campo elétrico, representada por $\partial\vec{D}/\partial t$ .

O segundo termo foi introduzido por Maxwell para tornar a lei de Ampère compatível com a conservação da carga.

Ele também estabelece uma profunda simetria dinâmica:

um campo magnético variável produz circulação de $\vec{E}$ ;
um campo elétrico variável produz circulação de $\vec{H}$ .

9.4. Forma integral

Aplicando-se o teorema de Stokes,

\boxed{ \oint_{\partial S} \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = \iint_S \vec{J}\cdot d\vec{S} + \frac{d}{dt} \iint_S \vec{D}\cdot d\vec{S} } \qquad \text{(Eq. 36)}

Definindo-se

I = \iint_S \vec{J}\cdot d\vec{S}, \qquad \text{(Eq. 37)}

\Phi_D = \iint_S \vec{D}\cdot d\vec{S}, \qquad \text{(Eq. 38)}

obtém-se

\oint_{\partial S} \vec{H}\cdot d\vec{\ell} = I+\frac{d\Phi_D}{dt}. \qquad \text{(Eq. 39)}

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10. Relações constitutivas

As equações de Maxwell não estão completas para um problema material até que sejam especificadas as relações entre os campos.

Em um meio linear, isotrópico e homogêneo,

\vec{D}=\varepsilon\vec{E}, \qquad \text{(Eq. 40)}

\vec{B}=\mu\vec{H}, \qquad \text{(Eq. 41)}

\vec{J}=\sigma\vec{E}. \qquad \text{(Eq. 42)}

Os parâmetros são:

$\varepsilon$ : permissividade elétrica;
$\mu$ : permeabilidade magnética;
$\sigma$ : condutividade elétrica.

No vácuo,

\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}, \qquad \vec{B}=\mu_0\vec{H}. \qquad \text{(Eq. 43)}

As equações de Maxwell no vácuo podem, então, ser escritas como

\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \text{(Eq. 44)}

\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0, \qquad \text{(Eq. 45)}

\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \text{(Eq. 46)}

\vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_0\vec{J} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \qquad \text{(Eq. 47)}

11. Conservação da carga como consequência estrutural

A conservação da carga não é uma hipótese externa desconectada das equações de Maxwell. Ela está contida na estrutura da lei de Ampère-Maxwell.

Parte-se de

\vec{\nabla}\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}. \qquad \text{(Eq. 48)}

Aplica-se a divergência aos dois lados:

\vec{\nabla}\cdot \left( \vec{\nabla}\times\vec{H} \right) = \vec{\nabla}\cdot\vec{J} + \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{\nabla}\cdot\vec{D} \right). \qquad \text{(Eq. 49)}

Utiliza-se a identidade vetorial

\vec{\nabla}\cdot \left( \vec{\nabla}\times\vec{A} \right) =0. \qquad \text{(Eq. 50)}

Como

\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho,

obtém-se

0 = \vec{\nabla}\cdot\vec{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t}.

Portanto,

\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J} = 0 } \qquad \text{(Eq. 51)}

Essa é a equação da continuidade.

Sua semântica é direta:

se a divergência de $\vec{J}$ é positiva, mais carga sai do ponto do que entra;
consequentemente, a densidade de carga local diminui;
se a divergência de $\vec{J}$ é negativa, há acúmulo local de carga.

A Eq. 51 representa uma lei local de conservação.

12. A identidade do duplo rotacional

Uma identidade central do cálculo vetorial é

\vec{\nabla}\times \left( \vec{\nabla}\times\vec{A} \right) = \vec{\nabla} \left( \vec{\nabla}\cdot\vec{A} \right) - \nabla^{2}\vec{A}. \qquad \text{(Eq. 52)}

O operador laplaciano vetorial é

\nabla^{2}\vec{A} = \nabla^{2}A_x\,\hat{\vec{x}} + \nabla^{2}A_y\,\hat{\vec{y}} + \nabla^{2}A_z\,\hat{\vec{z}}, \qquad \text{(Eq. 53)}

em que

\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}. \qquad \text{(Eq. 54)}

A Eq. 52 é essencial para demonstrar que as equações de Maxwell admitem ondas eletromagnéticas.

13. Dedução da equação de onda eletromagnética

Considere-se uma região sem cargas, sem correntes e preenchida por um meio homogêneo, linear e não condutor:

\rho=0, \qquad \vec{J}=\vec{0}, \qquad \sigma=0.

As equações relevantes são

\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\mu\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}, \qquad \text{(Eq. 55)}

\vec{\nabla}\times\vec{H} = \varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}. \qquad \text{(Eq. 56)}

Aplica-se o rotacional à Eq. 55:

\vec{\nabla}\times \left( \vec{\nabla}\times\vec{E} \right) = -\mu \frac{\partial}{\partial t} \left( \vec{\nabla}\times\vec{H} \right). \qquad \text{(Eq. 57)}

Substituindo-se a Eq. 56,

\vec{\nabla}\times \left( \vec{\nabla}\times\vec{E} \right) = -\mu\varepsilon \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}. \qquad \text{(Eq. 58)}

Utilizando-se a identidade do duplo rotacional,

\vec{\nabla} \left( \vec{\nabla}\cdot\vec{E} \right) - \nabla^{2}\vec{E} = -\mu\varepsilon \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}}. \qquad \text{(Eq. 59)}

Como $\rho=0$ ,

\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0.

Logo,

\boxed{ \nabla^{2}\vec{E} - \mu\varepsilon \frac{\partial^{2}\vec{E}}{\partial t^{2}} = \vec{0} } \qquad \text{(Eq. 60)}

Analogamente,

\boxed{ \nabla^{2}\vec{H} - \mu\varepsilon \frac{\partial^{2}\vec{H}}{\partial t^{2}} = \vec{0} } \qquad \text{(Eq. 61)}

A forma geral de uma equação de onda é

\nabla^{2}\vec{\Psi} - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}\vec{\Psi}}{\partial t^{2}} = \vec{0}. \qquad \text{(Eq. 62)}

Comparando-se as equações, obtém-se

\boxed{ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} } \qquad \text{(Eq. 63)}

No vácuo,

\boxed{ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} } \qquad \text{(Eq. 64)}

Esse resultado levou à identificação da luz como uma onda eletromagnética.

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14. Estrutura geométrica de uma onda plana

Considere-se uma onda plana propagando-se na direção do vetor de onda $\vec{k}$ . No regime harmônico, pode-se escrever

\vec{E}(\vec{r},t) = \operatorname{Re} \left\{ \vec{E}_0 e^{j(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)} \right\}. \qquad \text{(Eq. 65)}

A condição

\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0

implica

\vec{k}\cdot\vec{E}_0=0. \qquad \text{(Eq. 66)}

Portanto, o campo elétrico é perpendicular à direção de propagação.

Do mesmo modo,

\vec{k}\cdot\vec{H}_0=0. \qquad \text{(Eq. 67)}

Além disso,

\vec{H} = \frac{1}{\eta} \hat{\vec{k}}\times\vec{E}, \qquad \text{(Eq. 68)}

em que

\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \qquad \text{(Eq. 69)}

é a impedância intrínseca do meio.

Assim,

\vec{E}\perp\vec{H}, \qquad \vec{E}\perp\vec{k}, \qquad \vec{H}\perp\vec{k}.

A tríade $\vec{E}$ , $\vec{H}$ e $\vec{k}$ forma um sistema orientado pela regra da mão direita.

15. Condições de fronteira

Quando os campos atravessam a interface entre dois meios, suas componentes não variam arbitrariamente. As equações de Maxwell impõem condições de fronteira.

Se $\hat{\vec{n}}$ aponta do meio 1 para o meio 2, então

\hat{\vec{n}}\cdot \left( \vec{D}_2-\vec{D}_1 \right) = \rho_s, \qquad \text{(Eq. 70)}

\hat{\vec{n}}\cdot \left( \vec{B}_2-\vec{B}_1 \right) = 0, \qquad \text{(Eq. 71)}

\hat{\vec{n}}\times \left( \vec{E}_2-\vec{E}_1 \right) = \vec{0}, \qquad \text{(Eq. 72)}

\hat{\vec{n}}\times \left( \vec{H}_2-\vec{H}_1 \right) = \vec{J}_s. \qquad \text{(Eq. 73)}

Aqui:

$\rho_s$ é a densidade superficial de carga;
$\vec{J}_s$ é a densidade superficial de corrente.

As condições normais decorrem das equações de divergência. As condições tangenciais decorrem das equações de rotacional.

16. Sintaxe e semântica resumidas

Expressão	Tipo de entrada	Tipo de saída	Significado
$\vec{\nabla}\phi$	escalar	vetor	direção de maior crescimento de $\phi$
$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}$	vetor	escalar	densidade local de fonte ou sumidouro
$\vec{\nabla}\times\vec{A}$	vetor	vetor	circulação local e eixo de rotação
$\int_C\vec{A}\cdot d\vec{\ell}$	campo e curva	escalar	circulação ou trabalho ao longo da curva
$\iint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}$	campo e superfície	escalar	fluxo através da superfície
$\partial\vec{A}/\partial t$	campo vetorial	vetor	taxa de variação temporal local

As equações de Maxwell podem, então, ser lidas da seguinte maneira:

\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho

As cargas elétricas são fontes locais do fluxo elétrico.

\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0

O campo magnético não possui fontes ou sumidouros isolados.

\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}

A variação temporal do campo magnético produz circulação do campo elétrico.

\vec{\nabla}\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}

Correntes elétricas e campos elétricos variáveis produzem circulação do campo magnético.

17. Síntese conceitual

As equações de Maxwell apresentam uma arquitetura matemática precisa:

as equações de divergência descrevem a relação entre campos e fontes;
as equações de rotacional descrevem o acoplamento dinâmico entre os campos;
os teoremas da divergência e de Stokes conectam descrições locais e globais;
as relações constitutivas conectam os campos ao comportamento dos materiais;
a conservação da carga emerge da consistência interna do sistema;
a equação de onda emerge do acoplamento entre $\vec{E}$ e $\vec{H}$ .

A ideia central pode ser condensada no seguinte ciclo causal:

\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} \longrightarrow \vec{\nabla}\times\vec{E} \longrightarrow \frac{\partial\vec{D}}{\partial t} \longrightarrow \vec{\nabla}\times\vec{H} \longrightarrow \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}. \qquad \text{(Eq. 74)}

Esse encadeamento permite que perturbações eletromagnéticas se sustentem e se propaguem mesmo em uma região sem cargas e sem correntes. É precisamente essa estrutura que dá origem às ondas eletromagnéticas e, consequentemente, à luz.

Equações de Maxwell

Equações de Maxwell

1. As equações de Maxwell como linguagem do cálculo vetorial

2. Objetos fundamentais da teoria eletromagnética

2.1. Campos vetoriais

2.2. Fontes escalares e vetoriais

3. O operador vetorial ∇⃗\vec{\nabla}∇

3.1. Definição

3.2. Gradiente

3.3. Divergência

3.4. Rotacional

4. Geometria das integrais vetoriais

4.1. Elemento de linha

4.2. Elemento de superfície

4.3. Teorema da divergência

4.4. Teorema de Stokes

5. Sistema diferencial de Maxwell

6. Lei de Gauss para o campo elétrico

6.1. Forma diferencial

6.2. Sintaxe

6.3. Semântica

6.4. Forma integral

7. Lei de Gauss para o magnetismo

7.1. Forma diferencial

7.2. Sintaxe

7.3. Semântica

7.4. Forma integral

8. Lei de Faraday

8.1. Forma diferencial

8.2. Sintaxe

8.3. Semântica

8.4. Forma integral

9. Lei de Ampère-Maxwell

9.1. Forma diferencial

9.2. Sintaxe

9.3. Semântica

9.4. Forma integral

10. Relações constitutivas

11. Conservação da carga como consequência estrutural

12. A identidade do duplo rotacional

13. Dedução da equação de onda eletromagnética

14. Estrutura geométrica de uma onda plana

15. Condições de fronteira

16. Sintaxe e semântica resumidas

17. Síntese conceitual

3. O operador vetorial $\vec{\nabla}$