Lógica Digital e Álgebra Booleana

Lógica Digital e Álgebra Booleana

Os blocos fundamentais da computação digital: variáveis binárias e portas lógicas.

O mundo digital é construído sobre a abstração de apenas dois estados: 0 (Falso, Baixo, 0V) e 1 (Verdadeiro, Alto, 5V/3.3V). A matemática que rege esses estados é a Álgebra Booleana, desenvolvida por George Boole.

As Operações Fundamentais

Existem três operações lógicas básicas das quais todas as outras podem ser derivadas:

1. NOT (Inversora)

Inverte o estado da entrada. Se entra 0, sai 1. Se entra 1, sai 0.

• Expressão: $Y = \overline{A}$ ou $Y = \neg A$

2. AND (E)

A saída é verdadeira apenas se todas as entradas forem verdadeiras.

• Expressão: $Y = A \cdot B$

3. OR (OU)

A saída é verdadeira se pelo menos uma entrada for verdadeira.

• Expressão: $Y = A + B$

Portas Derivadas

Na prática, utilizamos combinações dessas portas para criar lógica complexa:

• NAND (Não-E): Inverso da AND. É uma porta “universal” (qualquer circuito digital pode ser feito apenas com NANDs).
• NOR (Não-OU): Inverso da OR.
• XOR (Ou-Exclusivo): Saída verdadeira apenas se as entradas forem diferentes. Essencial para somadores aritméticos.

Tabela Verdade

Uma tabela verdade lista todas as combinações possíveis de entradas e suas respectivas saídas. Para um sistema com $n$ entradas, a tabela terá $2^n$ linhas.

Teoremas de De Morgan

Augustus De Morgan formulou duas leis cruciais para simplificação de circuitos lógicos:

1. A negação de um produto é a soma das negações: $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ (Uma porta NAND equivale a uma OR com entradas invertidas)

2. A negação de uma soma é o produto das negações: $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ (Uma porta NOR equivale a uma AND com entradas invertidas)

Na próxima aula, aprenderemos a simplificar expressões booleanas usando Mapas de Karnaugh.